SOBRE O TEMPO.

O TEMPO NÃO EXISTE COMO COISA EM SI. FOI UMA INVENÇÃO HUMANA PARA DETERMINAR O MOVIMENTO DAS COISAS, OU SEJA, ESTÁ APENAS NA MENTE HUMANA.

LOGO, ELE NÃO TEM COMO AVANÇAR PARA FRENTE, RECUAR NO PASSADO, OU MESMO EXISTIR NO PRESENTE, LOGO, ELE NÃO VARIA.

PARADOXOS ASTRÔMICOS DE GRACELI.

INCOMPATIBILIDADE DA TEORIA DO ESPAÇO CURVO COM ALGUNS FENÔMENOS.

COMO:

ALINHAMENTO DO SISTEMA SOLAR.

ALINHAMENTO DOS MOVIMENTOS DE ROTAÇÕES DOS ASTROS.

INCLINAÇÕES DE ROTAÇÕES E INCLINAÇÕES DE TRANSLAÇÕES MENORES DE ASTROS MAIORES, E VICE-VERSA. INDEPENDENTE DE DISTÂNCIAS.

EXCENTRICIDADES MAIORES DE ASTROS MENORES, E VICE-VERSA. INDEPENDENTE DE DISTÂNCIAS.

O MESMO SERVE PARA GALAXIAS E OUTROS SISTEMAS CÓSMICOS.

 TERCEIRA QUANTIZAÇÃO E RELATIVIDADE SDCTIE GRACELI EM:

TERCEIRA QUANTIZAÇÃO E RELATIVIDADE SDCITE GRACELI EM:

POSTULADOS DE GRACELI PARA ENTROPIA E TERMODINÂMICA.

1] DENTRO DE UM SISTEMA TANTO A ENTROPIA QUANTO A ENTALPIA VARIAM E NÃO VOLTAM AO SEU ESTADO INICIAL CONFORME O SDCTIE GRACELI.

2] ISTO SERVE PARA TODAS AS LEIS DA TERMODINÂMICA, E OUTROS RAMOS DA FÍSICA, INCLUSIVE PARA FÍSICA QUÂNTICA, CONDUTIVIDADE E ELETROMAGNETISMO.

A TEMPERATURA QUE ALTERA AS VIBRAÇÕES E OS FLUXOS DAS ENERGIAS, DIMENSÕES E FENÔMENOS TAMBÉM ALTERA OS SPINS, MOMENTUNS, MOMENTUNS MAGNÉTICOS, E OUTROS.

CONDE COM ISTO SE TEM NOVOS NÚMEROS QUÂNTICO DE GRACELI [TEMPERATURA, VIBRAÇÕES, E FLUXOS VARIACIONAIS.]

ONDE SE FORMA UMA NOVA FÍSICA QUÂNTICA, DE CONDUTIVIDADE, ELÉTRICA,  MAGNÉTICA, ELETROMAGNÉTICA, MODELO PADRÃO, SIMETRIAS, DINÂMICAS, E MECÂNICAS.

COM AÇÃO E VARIAÇÕES SOBRE A QUÍMICA, A FÍSICA, RELATIVIDADES,  E OUTROS.


OU SEJA, UM SISTEMA GENERALIZADO VARIACIONAL SOBRE TODAS AS FÍSICAS, QUÍMICAS,E BIOLOGIA MOLECULAR, E SUAS RAMIFICAÇÕES.

sexta-feira, 21 de agosto de 2020

MECÂNICA TÉRMICA QUÂNTICA GRACELI, E GENERALIZADA [AMPLIADA PARA TODOS OS RAMOS DA FÍSICA, QUÍMICA, E BIOLOGIA MOLECULAR..

TEORIA VIBRACIONAL QUÂNTICA GRACELI.

CONFORME AUMENTA A TEMPERATURA, TAMBÉM APROXIMADAMENTE AUMENTA A DILATAÇÃO [CONFORME OS MATERIAIS DENTRO DO SISTEMA SDCTIE GRACELI] COM ISTO AUMENTA AS VIBRAÇÕES, SPINS, NÚMEROS QUÂNTICO DE GRACELI, ESTRUTURA ELETRÕNICA, E ESTADOS QUÂNTICO, COM ISTO SE TEM UM SISTEMA VARIACIONAL EM TODAS AS TEORIAS E PRINCÍPIOS, E FUNDAMENTOS  ENVOLVENDO MODELO ATÕMICO, QUÍMICA QUÂNTICA, E TODA A MECÂNICA QUÂNTICA, COMO E ENTRE TANTAS  TEORIAS COM A INCERTEZA, EXCLUSÃO, ÁTOMO DE BOHR E OUTROS,  EQUAÇÕES DA PRIMEIRA E SEGUNDA TEORIA QUÂNTICA, COOMO TAMBÉM TODA TEORIA ENVOLVENDO A TERCEIRA TEORIA QUANTICA SDCTIE GRACELI.


OU SEJA, SE TEM UMA TEORIA E MECÂNICA QUÂNTICA  VARIACIONAL CONFORME SE ENCONTRA EM ÍNDICES E TIPOS DE INTENSIDADES DE TEMPERATURA.


O MESMO ACONTECE PARA A ELETROSTÁTICA, ELETROMAGNETISMO, TEORIA DE PARTÍCULAS, GAUGE, SIMETRIAS, PARIDADES, MODELO PADRÃO TÉRMICO, E OUTROS.


VEJAMOS EM:

TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

X

 [ESTADO QUÂNTICO]

X

TODA FORMA DE FUNÇÃO E EQUAÇÃO EM:

Transformada de Legendre

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

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A transformada de Legendre consiste em uma transformação matemática que, quando aplicada sobre uma função ${\displaystyle Y=Y_{(X_{0},X_{1},X_{2},...X_{n})}}$

X

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

  sabidamente diferenciável em relação às suas variáveis independentes ${\displaystyle x_{i}}$ , fornece como resultado uma nova equação na qual as derivadas parciais ${\displaystyle P_{i}={\frac {\partial Y_{(X_{0},X_{1},...X_{n})}}{\partial x_{i}}}}$

 associadas, e não as variáveis ${\displaystyle x_{i}}$ em si, figuram como variáveis independentes. A nova equação consiste na "mesma" equação inicial, mas agora "em uma forma reescrita", ${\displaystyle \Psi =\Psi _{(P_{0},P_{1},P_{2},...P_{n})}}$. A Transformada de Legendre realiza-se sempre de forma que nunca se perca qualquer informação presente na equação original, devendo as mesmas informações estarem sempre contidas na nova equação.^[1]

A Transformada de Legendre e a Termodinâmica

A Transformada de Legendre encontra enorme aplicação em uma área da Física conhecida por Termodinâmica, área que tem por objetivo o estudo dos sistemas constituídos por "infinitos" entes físicos, moléculas em uma amostra confinada de gás, a exemplo.

Equação fundamental e Equação de estado

Em termodinâmica, cada sistema em estudo é descrito por uma equação matemática conhecida por equação fundamental, uma equação que retém em si todas as informações físicas associadas a este sistema. O conceito de equação fundamental reside no fato de, uma vez estabelecida a fronteira do sistema - o seu volume -, o número de entes que o compõem - o seu conteúdo material -, e a energia interna do sistema - o seu conteúdo em energia -, as condições deste sistema no equilíbrio termodinâmico encontram-se por estas grandezas (e algumas outras em sistemas mais complexos, como os magnéticos) então completamente determinadas, sendo obviamente calculáveis a partir destas.

As informações físicas, quando necessárias, podem ser extraídas da equação fundamental empregando-se um formalismo matemático inerente ao estudo da termodinâmica. A exemplo, para sistemas simples, no formalismo da entropia, a equação fundamental para a entropia S em um gás ideal será dependente das grandezas volume (V), número de partículas (e não de moles) N, e da Energia Interna U: ${\displaystyle S=S_{(U,V,N)}}$. No formalismo da energia, isolando-se a energia interna U em ${\displaystyle S_{(U,V,N)}}$ tem-se facilmente ${\displaystyle U_{(S,V,N)}}$, também uma equação fundamental. Qualquer informação física, incluindo-se as equações de estado, a exemplo a equação de Clapeyron ${\displaystyle PV=NRT}$ e a equação da energia ${\displaystyle U={\frac {n}{2}}K_{b}T}$ (n= 3; 5; ... )

X

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

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 para o caso dos gases ideais, pode ser facilmente extraídas da equação fundamental.

Repare que as duas equações anteriores, a de Clapeyron ${\displaystyle P_{(V,T,N)}}$ e a da energia ${\displaystyle U=U_{(T)}}$, em função das grandezas tomadas como independentes, são equações de estado e não equações fundamentais do sistema, e portanto não retém em si, quando isoladas, todas as informações necessárias à determinação de todas as propriedades físicas do sistema. Caso conheçam-se as equações de estado de um sistema pode-se obter uma, e em consequência - mediante transformadas de Legendre - todas as equações fundamentais do sistema, mas para isto é necessário que conheçam-se de antemão todas as equações de estado do sistema, sem ausência de nenhuma delas. A título de curiosidade a equação fundamental para um sistema composto por N partículas de um gás ideal confinados em um volume V e com energia interna U é, na representação entrópica, com ${\displaystyle k_{B}}$ representando a constante de Boltzman e c uma constante, e a menos de constante(s) acompanhando a grandeza N com unidade(s) definida(s) de forma a tornar correta a análise dimensional, não explicitamente indicadas aqui ^[2]:

${\displaystyle S_{(U,V,N)}={\frac {3}{2}}Nk_{B}\ln \left({\frac {U}{N}}\right)+Nk_{B}\ln \left({\frac {V}{N}}\right)+Nk_{B}c}$ ^[3]

X

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Isolando-se U, tem-se, na representação da energia:

${\displaystyle U_{(S,V,N)}=N\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}e^{{\frac {2}{3}}\left({\frac {S}{Nk_{B}}}-c\right)}}$

X

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

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Verifica-se experimentalmente, entretanto, que as grandezas intensivas como a pressão ${\displaystyle P}$ , temperatura ${\displaystyle T}$, e potencial químico ${\displaystyle \mu }$ ( onde ${\displaystyle P=-{\frac {\partial U_{(S,V,N)}}{\partial V}}}$ , ${\displaystyle \mu ={\frac {\partial U_{(S,V,N)}}{\partial N}}}$ 

X

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e ${\displaystyle T={\frac {\partial U_{(S,V,N)}}{\partial S}}}$ 

X

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no formalismo termodinâmico da energia) são muito mais acessíveis por medidas experimentais do que as grandezas extensivas como o volume V, entropia S e número de partículas N. Seria portanto extremamente conveniente, em acordo com a situação, principalmente em situações onde uma ou mais destas permaneçam constantes, que a equação fundamental pudesse ser reescrita, sem perda de informação, em função destas grandezas intensivas.

Representações no Formalismo da Energia

A Transformada de Legendre cumpre exatamente o papel na termodinâmica de permitir que se escreva a equação fundamental de um sistema em função das grandezas intensivas (e/ou extensivas) associadas, e não apenas em função das correspondentes extensivas. Em acordo com a grandeza extensiva "transformada" para a intensiva a ela conjugada, dentro do formalismo da energia, a exemplo, surgem várias representações possíveis para a equação fundamental, a saber:

• A energia interna U, onde ${\displaystyle U=U_{(S,V,N)}}$ :
• X

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•  a representação padrão no formalismo da energia.

• A energia livre de Helmholtz F, onde ${\displaystyle F=F_{(T,V,N)}}$: decorre da substituição da grandeza extensiva S em ${\displaystyle U=U_{(S,V,N)}}$
• X

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•   pela correspondente grandeza conjugada, T, mediante F= U-TS , sendo ${\displaystyle F=F_{(T,V,N)}}$
• X

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•   "mais adequada" para o estudo das transformações isotérmicas.

• A entalpia H, onde ${\displaystyle H=H_{(S,P,N)}}$:
• X

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•  decorre da substituição da grandeza extensiva V em ${\displaystyle U=U_{(S,V,N)}}$ pela correspondente intensiva, P, mediante H= U+PV , sendo ${\displaystyle H=H_{(S,P,N)}}$ "mais adequada" para o estudo das transformações isobáricas.
• X

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• A energia livre de Gibbs G, onde ${\displaystyle G=G_{(T,P,N)}}$:
• X

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•  decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e da grandeza extensiva V pela correspondente grandeza conjugada P em ${\displaystyle U=U_{(S,V,N)}}$, mediante G= U-TS+PV , sendo 
• ${\displaystyle G=G_{(T,P,N)}}$ "mais adequada" para o estudo de processos que ocorrem à temperatura e pressão constantes.

• O grande potencial canônico, ${\displaystyle C=C_{(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}$
• X

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• , decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e das grandezas extensivas ${\displaystyle N_{i}}$ pelas correspondentes intensivas ${\displaystyle \mu _{i}}$ em ${\displaystyle U=U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$, mediante ${\displaystyle C=U-TS-\Sigma \mu _{i}N_{i}}$ , sendo ${\displaystyle C=C_{(T,V,...,\mu _{i})}}$ "mais adequada" para o estudo de processos onde ocorrem várias substâncias misturadas (N_1, N_2,...) e, mesmo em caso de substância única, trocas de partículas à temperatura constante.

Em função da entropia S ser sempre uma função monótona crescente da energia interna U, a equação fundamental fundamental ${\displaystyle U=U_{(S,V,N)}}$

X

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  pode sempre ser "facilmente" reescrita, mediante troca de variáveis, para fornecer a equação, também fundamental, ${\displaystyle S=S_{(U,V,N)}}$, o que, de forma similar ao feito para o formalismo da energia, dá origem ao que se conhece por formalismo termodinâmico da entropia (ou entrópico), igualmente aplicável ao estudo dos sistemas termodinâmicos e capaz de fornecer os mesmos resultados e informações antes obtidos no formalismo da energia. Transformadas de Legendre podem ser igualmente aplicadas à equação fundamental ${\displaystyle S=S_{(U,V,N)}}$ 

X

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em acordo com o caso em estudo, fornecendo equações fundamentais que nem sempre recebem nomes especiais, sendo estas genericamente conhecidas por funções de Massieu. No formalismo da energia, a energia interna ${\displaystyle U_{(S,V,N)}}$ e suas transformadas são geralmente conhecidas por potenciais termodinâmicos.

A transformada de Legendre

Descrição

O gráfico de uma função, e de sua reta tangente, com inclinação ${\displaystyle f'_{(x)}=P_{(x)}={\frac {\partial f_{(x)}}{\partial x}}}$ no ponto x.

Há duas formas de se especificar a curva vista em vermelho na figura: fornecendo-se diretamente a relação entre Y e X (a exemplo Y=X²), ou especificando-se o conjunto de retas a ela tangentes - vistas em azul na figura. Para definir-se este conjunto de retas especifica-se a relação existente entre o interceptos ${\displaystyle \Psi }$ e as inclinações P das respectivas retas: ${\displaystyle \Psi =-P^{2}/4}$ no exemplo. A transformada de Legendre,quando aplicada a uma das equações, fornece a outra (ou, ao rigor da matemática, menos a outra: ${\displaystyle \Psi =+P^{2}/4}$).

Para a compreensão da transformação de Legendre ir-se-á considerar aqui a interpretação geométrica da Transformada de Legendre, e por comodidade mas sem perda de generalidade, considerar-se-á também uma função ${\displaystyle Y_{(X)}}$ dependente de apenas uma variável independente, X.

Sendo ${\displaystyle P={\frac {\partial {Y_{(X)}}}{\partial x}}={\frac {d{Y_{(X)}}}{dx}}}$ 

X

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no presente caso, à primeira vista pode parecer que para se obter uma função ${\displaystyle Y_{(P)}}$ onde P e não X desempenha o papel de variável independente bastaria eliminar-se X em ${\displaystyle Y_{(X)}}$ mediante a relação estabelecida entre P e X por ${\displaystyle P={\frac {d{Y_{(X)}}}{dx}}}$.

X

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 Um reflexão um pouco mais aguçada, entretanto, mostrará que neste processo perde-se informação associada à curva inicial visto que, uma vez conhecido ${\displaystyle Y_{(P)}}$, não se pode inverter o processo de forma a se obter novamente de forma unívoca a função inicial ${\displaystyle Y_{(X)}}$. Na transformação proposta a informação relativa à inclinação associada a um dado ponto da curva inicial ${\displaystyle Y_{(X)}}$ é preservada para cada ponto da curva, mas a informação sobre qual é exatamente este ponto X, ou seja, a informação de onde a reta tangente em X corta o eixo Y, não. Assim, apesar de ser possível se reconstruir o "formato" da curva inicial ${\displaystyle Y_{(X)}}$ partindo-se de ${\displaystyle Y_{(P)}}$, a determinação da distância exata desta curva ao eixo coordenado Y no gráfico não será possível, podendo a curva que se obtém da reconstrução transladar livremente na horizontal; a informação da posição correta desta se perde na transformação inicial, conforme proposta.

A solução para o problema deve ser obtida partindo-se da observação de que qualquer equação ${\displaystyle Y_{(P)}}$ que permita construir a família de retas tangentes a uma dada curva - e não apenas conhecer a inclinação de cada reta tangente em questão - automaticamente determina a própria curva de forma tão boa quanto o faz a equação ${\displaystyle Y_{(X)}}$ da curva.

Para tal, considere a reta tangente à curva ${\displaystyle Y_{(X)}}$ no ponto específico (X,Y) cuja inclinação é P (ver figura). É possível identificar o ponto ${\displaystyle \psi }$ onde esta reta intercepta o eixo Y e perceber que, da definição de inclinação de uma reta:

${\displaystyle P={\frac {\Delta Y}{\Delta X}}={\frac {Y-\psi }{X-0}}}$

X

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donde tem-se

${\displaystyle \psi =Y-PX}$

Como as expressões ${\displaystyle Y_{(X)}}$ e ${\displaystyle P=P_{(X)}}$ são conhecidas, uma simples álgebra matemática permite a eliminação de X e Y em favor de P e ${\displaystyle \psi }$ na equação acima, o que fornece a procurada relação ${\displaystyle \psi =\psi _{(P)}}$. Esta relação claramente permite a reconstrução de cada uma das retas tangentes com precisão, pois fornecendo-se o valor da inclinação P de uma delas, sabe-se com clareza, então, o ponto ${\displaystyle \psi }$ onde esta reta deve interceptar o eixo Y.

Para recuperar-se a equação original ${\displaystyle Y_{(X)}}$ partindo-se da equação ${\displaystyle \psi _{(P)}}$, basta considerar que a Transformada de Legendre é simétrica, exceto por um sinal de menos na equação de transformação^[4], à sua inversa. Assim, à parte um sinal de menos a se considerar, sendo T a transformação de Legendre, aplicá-la duas vezes em sequência fornecerá a mesma função inicial (T² = 1).

Em resumo tem-se:

A transformada de Legendre: ${\displaystyle Y_{(X)}<->\psi _{(P)}}$

${\displaystyle Y=Y_{(X)}}$	${\displaystyle \Psi =\Psi _{(P)}}$
${\displaystyle P={\frac {\partial Y_{(X)}}{\partial X}}}$	${\displaystyle -X={\frac {\partial \psi _{(P)}}{\partial P}}}$
Determinar ${\displaystyle X=X_{(P)}}$ e ${\displaystyle Y=Y_{(P)}}$	Determinar ${\displaystyle P=P_{(X)}}$ e ${\displaystyle \Psi =\Psi _{(X)}}$
${\displaystyle \Psi =-PX+Y}$	${\displaystyle Y=XP+\Psi }$
Eliminação de X e Y fornece ${\displaystyle \Psi =\Psi _{(P)}}$	Eliminação de P e ${\displaystyle \Psi }$ fornece ${\displaystyle Y=Y_{(X)}}$
${\displaystyle \Psi =\Psi _{(P)}}$	${\displaystyle Y=Y_{(X)}}$

X

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Ao rigor da Matemática ^[5]

Definições

Em matemática, a Transformada de Legendre, em homenagem a Adrien-Marie Legendre, é uma operação que transforma uma função real de variáveis reais em outra. A transformada de Legendre de uma função ƒ é a função ƒ^∗ definida por:

${\displaystyle f^{\star }(p)=\max _{x}{\bigl (}px-f(x){\bigr )}.}$

X

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Se ƒ é diferenciável, então ƒ^∗(p) pode ser interpretado como o negativo ^[6] do intercepto em Y gerado por uma reta de inclinação particular p quando esta encontre-se tangente ao gráfico de ƒ. Em particular, para o valor de x associado ao máximo anterior tem-se a propriedade:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=p.}$

X

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Isto é, a derivada da função ƒ torna-se o argumento da função ƒ^∗. Em particular, se ƒ é convexa (ou côncava para cima), então ƒ^∗ satisfaz a definição de um funcional.

${\displaystyle f^{\star }(f'(x))=xf'(x)-f(x).}$

X

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

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A Transformada de Legendre é sua própria inversa. Da mesma forma que as transformadas integrais, a Transformada de Legendre pega uma função ƒ(x) e fornece uma função de uma variável diferente p. Entretanto, enquanto as transformadas integrais consistem em integrais com um núcleo, a transformada Legendre usa o processo de maximização como processo de transformação. A transformada de Legendre é especialmente "bem-comportada" se ƒ(x) é uma função convexa.

A Transformada de Legendre é uma aplicação da relação de dualidade entre pontos e linhas. A função especificada por f(x) pode ser igualmente bem representada pelo conjunto de pontos (x, y), ou pelo conjunto de retas tangentes especificadas pelos valores de suas inclinações e pelos seus correspondentes interceptos no eixo coordenado Y.

A transformada de Legendre pode ser generalizada para fornecer a Transformada de Legendre-Fenchel.

A definição de Transformada de Legendre pode ser mais explícita. Para maximizar ${\displaystyle px-f(x)}$ em relação a ${\displaystyle x}$, faz-se a sua derivada igual a zero:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(px-f(x)\right)=p-{\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=0.\quad \quad (1)}$

Então a expressão é maximizada quando:

${\displaystyle p={\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ (2)}$

Quando ${\displaystyle f}$ é convexa, isto é seguramente um máximo porque a segunda derivada é negativa:

${\displaystyle {\mathrm {d} ^{2} \over \mathrm {d} x^{2}}(xp-f(x))=-{\mathrm {d} ^{2}f(x) \over \mathrm {d} x^{2}}<0,}$

Em um próximo passo inverte-se (2) para obter-se ${\displaystyle x}$ como função de ${\displaystyle p}$ e leva-se o resultado (1) , o que fornece uma forma mais prática para o uso,

${\displaystyle f^{\star }(p)=p\,\,x(p)-f(x(p)).}$

Esta definição fornece o processo convencional para se calcular a transformada de Legendre de ${\displaystyle f(x)}$: encontre ${\displaystyle p={df \over dx}}$, inverta para ${\displaystyle x}$ e substitua o resultado em ${\displaystyle xp-f(x)}$. Esta definição torna clara a seguinte interpretação: a Transformada de Legendre produz uma nova função, na qual a variável independente ${\displaystyle x}$ é substituída por ${\displaystyle p={df \over dx}}$, o qual é a derivada da função original em respeito a ${\displaystyle x}$.

Consideração importante

Há ainda uma terceira definição para Transformada de Legendre: ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle f^{\star }}$ são ditas transformadas de Legendre uma da outra se suas primeiras derivadas são funções inversas uma da outra:

${\displaystyle Df=\left(Df^{\star }\right)^{-1}.}$

Pode-se ver isto através do cálculo da derivada de ${\displaystyle f^{\star }}$:

${\displaystyle {df^{\star }(p) \over dp}={d \over dp}(xp-f(x))=x+p{dx \over dp}-{df \over dx}{dx \over dp}=x.}$

Combinando-se esta equação com a condição de maximização ter-se-á como resultado o seguinte par de equações recíprocas:

${\displaystyle p={df \over dx}(x),}$

${\displaystyle x={df^{\star } \over dp}(p).}$

Vê-se que ${\displaystyle Df}$ e ${\displaystyle Df^{\star }}$ são inversas, conforme prometido. Elas são unívocas a menos de uma constante aditiva que é fixada pelo requerimento adicional de que:

${\displaystyle f(x)+f^{\star }(p)=x\,p.}$

embora em alguns casos, a exemplo explicito, na termodinâmica e mecânica clássica, um requerimento não padronizado seja utilizado:

${\displaystyle f(x)-f^{\star }(p)=x\,p.}$

O último requisito foi o utilizado em todas as demais seções deste artigo, embora o rigor matemático solicite o primeiro: ao rigor da matemática a Transformada de Legendre é exatamente a sua própria inversa, e encontra-se assim diretamente relacionada à Integração por partes.

Exemplos

Com uma variável

A exemplo, aplicar-se-á a transformada de Legendre à função ${\displaystyle Y_{(X)}=X^{2}}$

Tem-se, seguindo-se os passos da tabela anterior:

Da linha 2:

${\displaystyle P={\frac {\partial Y_{(X)}}{\partial X}}=2X}$

Logo, para a linha 3: ${\displaystyle X={\frac {p}{2}}}$

e ${\displaystyle Y=X^{2}=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}}$

Da linha 4: ${\displaystyle \Psi =-PX+Y}$

Eliminando-se X e Y:

${\displaystyle \Psi =-P\left({\frac {P}{2}}\right)+\left({\frac {P}{2}}\right)^{2}}$

resulta em:

${\displaystyle \Psi ={\frac {-P^{2}}{4}}}$

Assim, a Transformada de Legendre para ${\displaystyle Y_{(X)}=X^{2}}$ é ${\displaystyle \Psi _{(P)}={\frac {-P^{2}}{4}}}$ ^[7]

A transformação inversa ficará a cargo do leitor.

Com duas ou mais variáveis

A título de ilustração calcular-se-á a energia livre de Helmholtz ${\displaystyle F_{(T,V,N)}}$ para um gás ideal partindo-se da equação fundamental para a energia interna ${\displaystyle U_{(S,V,N)}}$.

Conforme antes apresentado (e mantidas as mesmas ressalvas), para um gás monoatômico ideal constituído por N partículas confinadas em um volume V e com uma entropia interna S:

${\displaystyle U_{(S,V,N)}=N\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}e^{{\frac {2}{3}}\left({\frac {S}{Nk_{B}}}-c\right)}}$

da qual busca-se a energia de Helmholtz F, a ser calculada como:

${\displaystyle F=U-TS}$

mediante substituição da variável S pela sua respectiva conjugada, T.

Pelo formalismo termodinâmico tem-se que:

${\displaystyle T=\left({\frac {\partial U_{(S,V,N)}}{\partial S}}\right)_{V,N}}$

onde os índices V e N enfatizam que as grandezas volume V e quantidade de partículas N devem ser tratadas como constantes na derivada parcial. Procedendo-se o cálculo da derivada ter-se-á:

${\displaystyle T=\left({\frac {\partial U_{(S,V,N)}}{\partial S}}\right)_{V,N}={\frac {2}{3k_{B}}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}e^{{\frac {2}{3}}\left({\frac {S}{Nk_{B}}}-c\right)}}$

Isolando-se a entropia como função da temperatura e demais grandezas ter-se-á:

${\displaystyle S={\frac {3Nk_{B}}{2}}\ln \left[{\frac {3}{2}}k_{B}T\left({\frac {V}{N}}\right)^{\frac {2}{3}}\right]+cNk_{B}}$

a ser substituída em

${\displaystyle F=U-TS=N\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}e^{{\frac {2}{3}}\left({\frac {S}{Nk_{B}}}-c\right)}-TS}$

o que resulta em:

${\displaystyle F=N\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}e^{{\frac {2}{3}}\left({\frac {{\frac {3Nk_{B}}{2}}\ln \left[{\frac {3}{2}}k_{B}T\left({\frac {V}{N}}\right)^{\frac {2}{3}}\right]+cNk_{B}}{Nk_{B}}}-c\right)}-T\left({\frac {3Nk_{B}}{2}}\ln \left[{\frac {3}{2}}k_{B}T\left({\frac {V}{N}}\right)^{\frac {2}{3}}\right]+cNk_{B}\right)}$

Uma simples inspeção na equação anterior, mesmo sem simplificá-la, permite a conclusão de que a função F já encontra-se dependente apenas das variáveis T, V e N, conforme pretendido.

Procendo com os cálculos, ter-se-á:

${\displaystyle F=N\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {3}{2}}k_{B}T\left({\frac {V}{N}}\right)^{\frac {2}{3}}-{\frac {3}{2}}Nk_{B}T\ln \left[{\frac {3}{2}}k_{B}T\left({\frac {V}{N}}\right)^{\frac {2}{3}}\right]-cNk_{B}T}$

o que, com mais algumas simplificações, resulta em:

${\displaystyle F_{(T,V,N)}=Nk_{B}T\ln \left({\frac {N}{V}}\right)-{\frac {3}{2}}Nk_{B}T\ln \left({\frac {3k_{B}T}{2}}\right)+Nk_{B}T\left({\frac {3}{2}}-c\right)}$

que é a Energia Livre de Helmholtz para um gás ideal, uma equação fundamental com exatamente as mesmas informações contidas na equação original para a energia interna.

Novamente termodinâmica, e mecânica clássica

Termodinâmica: tabelas de transformadas

No contexto da termodinâmica, dentre todas as possíveis transformadas de Legendre, as seguintes são particularmente muito frequêntes e importantes:

Transformadas de Legendre na Termodinâmica - Formalismo da Energia - Partindo-se de ${\displaystyle U_{(S,V,N)}}$ tem-se:

${\displaystyle U=U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle U=U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle H=H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle F=F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$
${\displaystyle T={\frac {\partial U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}{\partial S}}}$	${\displaystyle -P={\frac {\partial U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}{\partial V}}}$	${\displaystyle T={\frac {\partial H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}{\partial S}}}$	${\displaystyle \mu _{i}={\frac {\partial F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}{\partial N_{i}}}}$
Determinar ${\displaystyle S=S_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle U=U_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle V=V_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle U=U_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle S=S_{(T,P,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle H=H_{(T,P,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle F=F_{(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}$ e ${\displaystyle N_{i}=N_{i(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}$
${\displaystyle F=U-TS}$	${\displaystyle H=U+PV}$	${\displaystyle G=H-TS}$	${\displaystyle C=F-\Sigma \mu _{i}N_{i}}$
Eliminação de U e S fornece:	Eliminação de U e V fornece:	Eliminação de H e S fornece:	Eliminação de F e ${\displaystyle N_{i}}$ fornece:
Energia Livre de Helmholtz F	Entalpia H	Energia livre de Gibbs G	Grande Potencial Canônico C
${\displaystyle F=F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle H=H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle G=G_{(T,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle C=C_{(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}$

Transformadas de Legendre em Termodinâmica - Formalismo da Energia - Para chegar-se a ${\displaystyle U_{(S,V,N)}}$ tem-se:

${\displaystyle F=F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle H=H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle G=G_{(T,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle C=C_{(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}$
${\displaystyle -S={\frac {\partial F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}{\partial T}}}$	${\displaystyle V={\frac {\partial H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}{\partial P}}}$	${\displaystyle -S={\frac {\partial G_{(T,P,N_{1},N_{2}...)}}{\partial T}}}$	${\displaystyle -N_{i}={\frac {\partial C_{(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}{\partial \mu _{i}}}}$
Determinar ${\displaystyle T=T_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle F=F_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle P=P_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle H=H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle G=G_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle T=T_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle C=C_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$
${\displaystyle U=F+TS}$	${\displaystyle U=H-PV}$	${\displaystyle H=G+TS}$	${\displaystyle F=F+\Sigma \mu N_{i}}$
Eliminação de T e F fornece:	Eliminação de P e H fornece:	Eliminação de G e T fornece:	Eliminação de C e ${\displaystyle \mu _{i}}$ fornece:
Energia Interna U	Energia Interna U	Entalpia H	Energia Livre de Helmhotz F
${\displaystyle U=U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle U=U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle H=H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle F=F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$

Lagrangianas e Hamiltonianos

No contexto da mecânica clássica o princípio de Lagrange ^[8] garante que uma função particular, a Lagrangiana do sistema, caracteriza-o completamente no que se refira à sua dinâmica. A Lagrangiana é uma função de 2r variáveis, r coordenadas generalizadas e r velocidades generalizadas, e desempenha em mecânica, de forma similar ao de ${\displaystyle S_{(U,V,N)}}$ na termodinâmica, o papel de equação fundamental para a dinâmica:

${\displaystyle L=L_{(v_{1},v_{2},...,v_{r},q_{1},q_{2},...,q_{r})}}$

Sendo uma equação fundamental, aplicando-se o formalismo da mecânica Lagrangiana pode-se então chegar às equações diferenciais e posteriormente às equações horárias que descrevem toda a dinâmica do sistema em questão.

A transformada de Legendre aplica-se também à Lagrangiana. Neste contexto, o momento generalizado ${\displaystyle P_{k}}$ conjugado à correspondente velocidade ${\displaystyle v_{k}}$ é definido como a deriva parcial da lagrangiana em relação à respectiva velocidade ${\displaystyle v_{k}}$ (k<=r):

${\displaystyle P_{k}={\frac {\partial L_{(v_{1},v_{2},...,v_{r},q_{1},q_{2},...,q_{r})}}{\partial v_{k}}}}$

Caso deseje-se substituir como variáveis independentes todas as velocidades pelos correspondentes momentos, devem-se fazer Transformadas de Legendre em relação a todas as velocidades. Assim, introduz-se uma nova função, chamada Hamiltoniano, definida por:

${\displaystyle (-H)=L-\Sigma _{1}^{r}{P_{k}v_{k}}}$

Um novo formalismo dinâmico, a mecânica hamiltoniana, pode então ser empregada em termos da nova equação fundamental ${\displaystyle H_{(P_{1},P_{2},...P_{r},q_{1},q_{2},...,q_{r})}}$

As hamiltonianas são particularmente importantes no estudo da mecânica quântica.

Exemplo

Oscilador harmônico simples ideal. O estudo deste sistema pode ser feito através do conhecimento de sua Lagrangiana ou de seu Hamiltoniano. Conhecida um destas funções, obtém-se facilmente a outra através da Transformada de Legendre

Inicialmente determinar-se-á a Lagrangiana e posteriormente o Hamiltoniano para um oscilador harmônico unidimensional constituído de uma massa presa em uma das extremidades de a uma mola e apoiada em uma mesa sem atrito.

A Lagrangiana do sistema é definida no contexto da mecânica lagrangiana como a diferença entre a energia cinética T e a energia potencial U do sistema, o que para este presente caso resulta, considerado que só há energia potencial elástica no sistema:

${\displaystyle L_{(x,{\dot {x}})}=T-U={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}kx^{2}}$

Nesta equação, ${\displaystyle {\dot {x}}}$ representa a velocidade da partícula associada à coordenada x.

A partir desta equação fundamental pode-se, de posse do formalismo da mecânica lagrangiana e do Princípio de Lagrange, determinar a equação de movimento para a massa.

Para fins de comparação das soluções, a solução no formalismo lagrangiano é apresentado abaixo, partindo-se para tal do Princípio de Lagrange que afirma, sendo

${\displaystyle L=L_{(x_{1},x_{2},...,x_{n},{\dot {x_{1}}},{\dot {x_{2}}},...,{\dot {x_{n}}})}}$ tem-se, com i=1,2,...

que:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}=0}$

Para o problema em questão:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=-kx}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=m{\ddot {x}}}$

O que, substituído na equação para o Princípio de Lagrange, fornece:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+kx=0}$, que é a equação diferencial para o sistema em estudo.

A solução desta equação diferencial leva a uma função horária cossenoidal para o movimento da massa no oscilador harmônico simples considerado (para a solução, consulte o artigo dedicado).

${\displaystyle X(t)=Acos(kx-\omega t+\phi )}$

onde ${\displaystyle \omega =\left({\frac {k}{m}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

Procura-se agora chegar a uma mesma solução através do formalismo da mecânica hamiltoniana.

O Hamiltoniano para o sistema pode ser obtida através da Transformada de Legendre aplicada à Lagrangiana, conforme descrito anteriormente.

Seguindo-se os passos prescritos, o momento generalizado associado à velocidade ${\displaystyle {\dot {x}}}$ é:

${\displaystyle P={\frac {\partial L_{(x,{\dot {x}})}}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}}$

de onde, isolando-se ${\displaystyle {\dot {x}}}$

${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {P}{m}}}$

Determinando-se o Hamiltoniano H através de

${\displaystyle (-H)=L-P{\dot {x}}}$

tem-se, já eliminando-se ${\displaystyle {\dot {x}}}$ em favor de P:

${\displaystyle (-H)={\frac {1}{2}}m\left({\frac {P}{m}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}kx^{2}-P\left({\frac {P}{m}}\right)}$

Resolvendo, chega-se ao Hamiltoniano do sistema, uma equação fundamental que contém igualmente todas as informações necessárias sobre a dinâmica do sistema:

${\displaystyle H_{(P,x)}={\frac {P^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}}$

Aplicar-se-á agora o formalismo da mecânica hamiltoniana a fim de se comparar os resultados.

As equações diferenciais de movimento no formalismo de Hamilton são, já adaptadas ao problema unidimensional com variáveis x e P (fez-se q=x para tal):

${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {\partial H}{\partial P}}=P/m}$

${\displaystyle -{\dot {P}}={\frac {\partial H}{\partial x}}=kx}$

Da primeira tem-se:

${\displaystyle P=m{\dot {x}}}$ donde

${\displaystyle {\dot {P}}=m{\ddot {x}}}$ para um sistema com massa constante.

Substituindo na segunda:

${\displaystyle -{\dot {P}}=kx=-m{\ddot {x}}}$

e por fim

${\displaystyle kx+m{\ddot {x}}=0}$

que é a mesma equação diferencial antes obtida pelo formalismo lagrangiano, o que leva à mesma solução já apresentada, obviamente.